第587章超越ω級，層層序數(提示，本章略複雜)

               　　在【超限序數】這一數學理論體系中，存在著所謂的三類條件。

　　一、反自反：

　　即，如果a≤b，且b≤a，則a=b。

　　二、傳遞性：

　　即，如果a≤b，且b≤c，則a≤c。

　　三、完備性：

　　若a≤b或者b≤a，那麼便不存在無法比較的情況。

　　事實上，一切知性生靈所知的自然數範疇到實數範疇內的‘≤’都符合這些性質。

　　這些性質，也正是奠定各類集合間【全序關係】的基礎。

　　至於所謂的全序關係，便是集合層面上的比大小操作。(詳見580章)

　　任意兩個良序集合，假若可以建立一一對應關係。

　　那麼，就可以說其是【同序數】。

　　其實不僅僅是序數，在龐大的數學領域中，亦存在著大量類似通過某種一一對應的變換，來建立兩個對象性質相似性的定義。

　　其名稱，也與‘同序數’這一概念頗為近似。

　　譬如同構，同態等等等等。

　　如果要將【同序數】這一概念，再進行一番更為細緻也更為形象的比喻性描述，那麼就可以用【銀河霸主】這一大境界來作例子。

　　在銀河霸主大境之中，若以實力高低為憑，從最低的一階開始一路往上數。

　　二階、三階、四階……一直數到最高的十階頂尖霸主。

　　那麼這套力量等級體系，就共計擁有十個階數。

　　其按照實力高低，從小到大就構成了一個良序集。(良序集定義詳見580章)

　　與此同時，自然數從1到10也能構成一個良序集。

　　顯然，銀河霸主一～十階，與自然數1～10，是可以一一對應的。

　　並且這兩者的對應結構，也是保持了順序的。

　　所以，就可以說【銀河霸主】等級體系，與自然數1到10的這個集合，為【同序數】。

　　也可以更簡單的說成，序數是10。

　　由此推及到更大的層次，那麼全體自然數，顯然也能構成一個全序集，或者說一個良序集。

　　只是，其並非有限集，而是無窮集。

　　這個無窮集，就是最小的超限序數w，亦是穆蒼初登無窮之際的實力層次。

　　當然，只是祂初登無窮時的層次。

　　至於現在的穆蒼，則早已遠遠凌駕在了w級數之上不知凡幾。

　　可是w……就已然是切切實實的無窮大。

　　對於無窮大，還能怎樣超越呢？

　　答案是，可以超越。

　　只不過，需要打開腦洞，展開一場思維風暴。

　　開始！

　　提問，怎樣在自然數集合w中，通過增加一個元素，來得到一個更高階更巨大的超限序數呢？

　　乍一想，這好像是無法做到的。

　　因為在自然數集合w中，已經存在了無窮多個元素。

　　若想要再加入一個元素，同時還要保持w良序集的性質，這又該往哪裡加呢？

　　先不要思考答案，可以將這個問題翻轉一下。

　　翻轉之後即是……能否從全體自然數w中，拿走足夠多的元素，用來構造一個更小的無窮序數呢？

　　只要稍微思考一下，便會知曉這一問題和【希爾伯特旅館悖論問題】十分相似，或者說大差不差，都屬於是對無窮集合的思考與討論。

　　總之，即便從全體自然數集合w中拿走任意多的元素，可只要還剩下無窮多個元素，那麼w便還是與全體自然數同序數。

　　既然問題已經翻轉過了，那麼現在，就將結論也翻轉一次吧。

　　翻轉之後便是，往w中添加任意多元素，是毫無意義的。

　　即便加了，得到的也依然是與自然數集合同等大小的序數集。

　　所以，現在應該要怎麼做呢？

　　要怎樣做才能突破w，到達那更高階的無窮大層次呢？

　　很簡單，在全體自然數【末尾】，添加一個元素。

　　可是，全體自然數有無窮多個，要如何操作，才能在其按照常理根本就不可能存在的所謂【末尾】，添加上一個元素呢？

　　注意，這就是【超限序數】理論中的關鍵點。

　　至關重要！

　　如果能夠理解這一關鍵點，能夠理解如何〖在全體自然數末尾添加一個元素〗這一操作。